设a>0，函数f（x）=ax+b/x2+1，b为常数．（1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:15

问题描述：

设a>0，函数f（x）=

ax+b

x2+1

，b为常数．
（1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．

答

（1）证明f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
令f′（x）=0，得ax²+2bx-a=0（*）
∵△=4b²+4a²>0，
∴方程（*）有两个不相等的实根，记为x₁，x₂（x₁<x₂），
则f′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(x2+1)2

，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

可见，f（x）的极大值点和极小值点各有一个．
（2）由（1）得

f(x1)=

ax1+b

x12+1

=-1

f(x2)=

ax2+b

x22+1

即

ax1+b=-x12-1

ax2+b=x22+1

两个方程左右两边相加，得a（x₁+x₂）+2b=x₂²-x₁²．
∵x₁+x₂=-

，∴x₂²-x₁²=0，
即（x₂+x₁）（x₂-x₁）=0，
又x₁<x₂，
∴x₁+x₂=0，从而b=0，
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1，x₂=1，代入得a=2．

设a>0，函数f（x）=ax+b/x2+1，b为常数． （1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个； （2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．