三棱锥P-ABC中,PC=x,其余棱长均为1. (1)求证:PC⊥AB; (2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值.

问题描述:

三棱锥P-ABC中,PC=x,其余棱长均为1.

(1)求证:PC⊥AB;
(2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值.

(1)取AB中点M,
∵△PAB与△CAB均为正三角形,
∴AB⊥PM,AB⊥CM,
∴AB⊥平面PCM,
∴AB⊥PC.
(2)当PM⊥平面ABC时,
三棱锥的高为PM,
此时Vmax

1
3
S△ABC•PM=
1
3
3
4
3
2
1
8