三棱锥P-ABC中,PC=x,其余棱长均为1. (1)求证:PC⊥AB; (2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值.
问题描述:
三棱锥P-ABC中,PC=x,其余棱长均为1.
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值.
答
(1)取AB中点M,
∵△PAB与△CAB均为正三角形,
∴AB⊥PM,AB⊥CM,
∴AB⊥平面PCM,
∴AB⊥PC.
(2)当PM⊥平面ABC时,
三棱锥的高为PM,
此时Vmax=
S△ABC•PM=1 3
•1 3
•
3
4
=
3
2
.1 8