在三角形ABC中,AC大于AB,在AC上截取CD=AB.E,F分别是AD和BC中点,直线FE交BA延长线于点G,试说明AE=AG.
问题描述:
在三角形ABC中,AC大于AB,在AC上截取CD=AB.E,F分别是AD和BC中点,直线FE交BA延长线于点G,试说明AE=AG.
答
证明:过点A做角BAC的角平分线交BC于M,
显然,由角平分线定理有AC/AB=CM/MB
由定比分共式有AC/(AC-AB)=CM/(CM-MB); ---------(1)
又CD=AB,且E为AD中点,故AC-AB=AC-CD=AD=2AE
由F为BC中点,有CF=FB,有CM-MB=(CF+FM)-(BF-FM)=CF-FB+2*FM=2FM
故(1)化简为AC/(2AE)=CM/(2FM) =>AC/AE=CM/FM=>EF//AM
=>角AEG=角CAM 角BAM=角AGE-------------(2)
又AM为角平分线,所以角CAM=角BAM
故角AGE=角AEG=>AE=AG
证毕
祝好~