a,b,c都是实数,且ab+bc+ca=1,求1/a+1/b+1/c的最大值或最小值.a+b+c的最大值或最小值

由ab+bc+ca=1导出二元隐函数,化为显函数为c=(1-ab)/(a+b),代入后面两个式子得
(a+b)/(1-ab)+1/b+1/c,分别对b和c求偏导数得fa=(1+b^2)/(1-ab)^2-1/a^2,fb=(1+a^2)/(1-ab)^2-1/b^2,同时令两个偏导数等于0,得a^2+2ab-1=0,b^2+2ab-1=0,解之得a=b=√3/3,得c=√3/3,原式=3√3
代入第二个式子得(1-ab)/(a+b)+a+b,求偏导数得fa=1-(b^2+1)/(a+b)^2,fb=1-(a^2+1)/(a+b)^2,令两个偏导数等于0,得a^2+2ab-1=0,b^2+2ab-1=0,同上面得到的方程一样,故a=b=c=√3/3,故原式=√3
注：当偏导数为0的时候,求出来的就是极值,这里不讨论究竟是最大值还是最小值.
我是用高等数学做的,你看懂就看,看不懂就算了.我改了一下题目，能用高中方法做吗？用柯西不等式可能做出来。你们《不等式选讲》讲了吗？顺便说一下，我也是高三的。刚讲《不等式选讲》你等等，我再看看。第一个式子：原式=1/abc(ab+bc+ac)=1/abc,又ab+bc+ac≥3三次根号(abc)^2,得abc≤√(1/3)^3=1/3√3,故原式≥3√3第二个式子：原式的平方=(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2=1/2[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]+3≥3故原式≥√3