袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球．（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；（2）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的概率分布律，并求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ．

答

（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为C₇¹+C₃¹C₄¹=19种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为C₈²=28，故所求概率为

19

28

；    （6分）
（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有C₄¹C₃¹=12种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有C₄²C₄¹=24种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有C₄³=4种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．
由题意随机变量ξ的取值可以为1，2，3．得随机变量ξ的概率分布律为：（12分）

x	1	2	3
P（ξ=x）	3 10	3 5	1 10

Eξ＝1×

3

10

+2×

3

5

+3×

1

10

＝

9

5

，（13分）Dξ＝(1−

9

5

)2×

3

10

+(2−

9

5

)2×

3

5

+(3−

9

5

)2×

1

10

＝

9

25

．（14分）
答案解析：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为C₇¹+C₃¹C₄¹=19种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为C₈²=28，由此能得到所求概率．
（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有C₄¹C₃¹=12种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有C₄²C₄¹=24种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有C₄³=4种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．由题意随机变量ξ的取值可以为1，2，3．由此求出随机变量ξ的概率分布列和ξ的数学期望Eξ及方差Dξ．
考试点：离散型随机变量的期望与方差．
知识点：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率的计算．