一个矩阵可对角化,那么它的秩等于非0特征值的个数,这个结论反之成立吗?
问题描述：
一个矩阵可对角化,那么它的秩等于非0特征值的个数,这个结论反之成立吗?
答
这个结论成立.因为矩阵相似则秩相同,可对角化矩阵的秩等于对角阵的秩=非零特征值个数.我问的是反之成不成立啊!不成立。是满秩的都不行。反例：主对角线元素全是1，副对角线也是1，其余全是0的矩阵。为什么要强调满秩的都不行呢?我问的问题和矩阵满不满秩有什么关系呀?我就是问如果一个方阵它的秩等于非0特征值的个数,那么它是不是可以对角化矩阵A主对角线元素全是1，副对角线也是1，其余全是0，这个矩阵的秩等于非0特征值的个数, 但不可对角话。干脆点就是反之不成立。你再看看可对角化的重要条件。你说的这个反例不对 吧?比如3阶矩阵,主对角线元素全是1，副对角线也是1，其余全是0,他有3个特征值0,1,2,都是单值,可以对角化啊