如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1与它的侧视图（或称左视图），E是DD1上一点，AE⊥B1C． （1）求证AE⊥平面B1CD； （2）求三棱锥E-ACD的体积．
问题描述：
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1与它的侧视图（或称左视图），E是DD1上一点，AE⊥B1C．
（1）求证AE⊥平面B1CD；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．
答
证明：（1）因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以CD⊥平面ADD1A1…（2分）
AE⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AE…（3分）
因为AE⊥B1C，CD∩B1C=C，所以AE⊥平面B1CD…（5分）
（2）连接A1D，因为AE⊥B1CD，所以AE⊥B1C…（6分），
因为A1D∥B1C
所以AE⊥A1D…（7分）
所以△ADE∽△A1AD…（8分），所以
＝AD DE
…（9分）AA 1
AD
因为AD=2，AA1=4
所以，DE＝
=AD2 AA1
＝1（10分）2×2 4
因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以DE是三棱锥E-ACD的高…（11分），
所以三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=
×1 3
×AD×CD×DE=1 2
×1 3
×2×2×1=1 2
…（13分）．2 3