椭圆X^2/2+Y^2=1的左焦点为F,过点F的直线L与椭圆交于P`Q两点,向量PF=3向量FQ,求直线L的方程
问题描述：
椭圆X^2/2+Y^2=1的左焦点为F,过点F的直线L与椭圆交于P`Q两点,向量PF=3向量FQ,求直线L的方程
答
斜率为0时,直线交椭圆于(√2,0),(-√2,0),而椭圆的左焦点为(-1,0).向量为(√2+1,0),(√2-1,0)不符合向量PF=3向量FQ的条件.所以可以设直线的斜率为1/k.则直线方程为x=ky-1.代入椭圆方程x^2/2+y^2=1得
(ky-1)^2/2+y^2=1
化简得
(k^2+2)y^2-2ky-1=0
由韦达定理
y1+y2=2k/(k^2+2)
y1*y2=-1/(k^2+2)
上式左右相除得
y1/y2+y2/y1=-2k
由向量PF=3向量FQ及直线L过左焦点(-1,0)知
y1/y2=-3或y2/y1=-3
因此得
k=(3+1/3)/2=5/3
这样我们得直线方程为
y=3/5(x+1).