如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．
问题描述：
如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．
答
（1）β=90°+
α；（2）β=1 2
α；（3）β=90°-1 2
α．1 2
下面选择（1）进行证明．
在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=
∠ABC，∠PCB=1 2
∠ACB，1 2
∴∠PBC+∠PCB=
（∠ABC+∠ACB）=90°-1 2
α．1 2
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-
α）=90°+1 2
α．1 2
∴β=90°+
α．图（2），结论：∠BPC=1 2
∠A．1 2
证明如下：
∠P=∠1-∠2=
（∠ACD-∠ABC）=1 2
∠A．1 2
∴β=
α；1 2
（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=
（∠A+∠ACB），∠BCP=1 2
（∠A+∠ABC），1 2
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-
（∠ABC+∠ACB），1 2
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-
（∠ABC+∠ACB）=90°-1 2
α，1 2
即β=90°-
α．1 2