及不等式方程的题目

【1】已知a,b,c,d,m,n>0且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,m≠n,ac+bd≤p.求p的最小值
要使p为最小值,且ac+bd≤p,则只需ac+bd的最大值即可
而2ac≤a^2+b^2,2bd≤c^2+d^2
故2ac+2bd≤（a^2+b^2）+（c^2+d^2）
即ac+bd≤（m^2+n^2）/2
故p为最小值为（m^2+n^2）/2,此时a=b,c=d.
【2】a,b,c为某一三角形的三条边,c为斜角边,点（m,n)在直线ax+by+2c=0上,m^2+n^2的最小值
问：“c为斜角边”是什么意思?是说三角形是直角三角形?b^2+a^2=c^2
易知am+bn+2c=0,a＞0,b＞0,c＞0
故m=(-bn-2c)/a
于是 m^2+n^2=[(-bn-2c)/a]^2+n^2=[(b^2+a^2)/a^2]×n^2+(4bc/a^2)×n+4c^2/a^2=(1/a^2)[c^2×n^2+4bc×n+4c^2]
故当n=-4bc/(2c^2)=-2b/c时,m^2+n^2有最小值,此时m^2+n^2=（1/a^2)[c^2×（-2b/c）^2+4bc×（-2b/c）+4c^2]=（1/a^2)[4b^2-8b^2+4c^2]=4
注:“Cauchy门徒”的(m^2+n^2)(a^2+b^2)>=(am+bn)^2=4c^2(a^2+b^2=c^2) So m^2+n^2>=4.很好!
【3】已知a>0,b>0,且a+b=1,则ab+1/ab的最小值
分析：a>0,b>0则ab＞0,1/ab＞0
从而ab+1/ab≥2sqrt[ab×(1/ab))=2sqrt(2) {注：sqrt是根号的意思}
当且仅当ab=1/ab,即ab=1,使上面等号成立,又a+b=1,此时a,b无解,故此时取不到等号,即2sqrt(2)不是最小值.需换方法.
不妨令x=ab,则考察函数f(x)=x+1/x,
a+b=1,则ab≤[（a+b）/2]^2=1/4,即x≤1/4
由勾函数图象知,f(x)在（0,1）上单调减,
从而x=1/4时,f(x)取最小值,为17/4
故ab+1/ab的最小值17/4,此时a=b=1/2
【4】设f(x)=(1/a)x^2-bx+c,(a>0),满足f(1+x)=f(1-x),求a^2+b^2-2(a+b)的最小值
由f(1+x)=f(1-x)知f(x)的对称轴是1,即ab/2=1,ab=2
又a>0,则 b>0
a^2+b^2-2(a+b)=(a+b-1)^2-1-2ab=(a+b-1)^2-5
又a+b≥2sqrt(ab)=2sqrt(2)
故a^2+b^2-2(a+b)的最小值为[2sqrt(2)-1]^2-5=4-4sqrt(2)
【5】|x^2-2|x|-2|≥1
原不等式等价为||x|^2-2|x|-2|≥1
从而|x|^2-2|x|-2≥1或|x|^2-2|x|-2≤-1
即|x|^2-2|x|-3≥0①或|x|^2-2|x|-1≤0②
①的解|x|≥3,|x|≤-1,故x≥3或x≤-3
略（有些累了）
（仅供参考）