函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（1/2）=2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t-1）+f（t）
问题描述：
函数f（x）=
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（
ax+b
1+x2
）=2．1 2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）<0．
答
（1）由题意得，
f(0)=
=0b 1 f(
)=1 2
=2
a+b1 2 1+
1 4
解得，a=5，b=0．
∴f（x）=
．5x 1+x2
（2）证明：任取x1、x2∈（-1，1），且x1<x2，则
f（x1）-f（x2）=
-5x1
1+
x
21
=5x2
1+
x
22
，5(x1-x2)(1-x1x2) (1+
)(1+
x
21
)
x
22
∵-1<x1<x2<1，
∴（1+
）（1+
x
21
）>0；x1-x2<0；1-x1•x2>0；
x
22
∴f（x1）-f（x2）<0
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t）<0，
∴f（t-1）<-f（t），
即f（t-1）<f（-t），
则
-1<t-1<1 -1<-t<1 t-1<-t
解得，0<t<
．1 2