已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE． （1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相
问题描述：
已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由．
答
（1）证明：∵点F为BC的中点，
∴BF=CF=
BC=1 2
，a 2
又∵BF∥AD，
∴BE=AB=b，
∴A，E两点到BC的距离相等，都为bsinα，（3分）
则S△ABF=
•1 2
•bsinα=a 2
absinα，1 4
S△EFC=
•1 2
•bsinα=a 2
absinα，1 4
∴S△ABF=S△EFC；（5分）
（2）
法一：当F为BC上任意一点时，
设BF=x，则FC=a-x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
＝BF AD
，∴BE BE+AB
＝x a
，BE BE+b
∴BE＝
，（7分）bx a−x
在△EFC中，FC边上的高h1=BEsinα，
∴h1＝
，bxsinα a−x
∴S△EFC＝
FC•h1＝1 2
(a−x)•1 2
＝bxsinα a−x
bxsinα，（9分）1 2
又在△ABF中，BF边上的高h2=bsinα，
∴S△ABF=
bxsinα，1 2
∴S△ABF=S△EFC；（11分）
法二：∵ABCD为平行四边形，
∴S△ABC=S△CDE=
absinα，1 2
又∵S△AFC=S△CDF，
∴S△ABC-S△AFC=S△CDE-S△CDF，
即S△ABF=S△EFC．（11分）