在等比数列｛an｝中,已知对任意自然数n,a1+a2+…+an=2的n次方减1,则a1的平方+a2的平方+…+an的平方= .

a1+a2+…+an=2^n-1
a1+a2+…+a(n-1)=2^(n-1)-1
两式相减
an=2^(n-1)
a1=1
(an)^2=2^[2(n-1)]
(a1)^2=1
(an)^2/]a(n-1)]^2=4
a1的平方+a2的平方+…+an的平方=(4^n-1)/3

依题意知A1+A2+…+An=2^n-1
所以A1+A2+……+A(n-1)=2^(n-1)-1
上下两式相减得：An=2^(n-1)
设(A1)^2+(A2)^2+……+(An)^2=Tn
因为An=2^(n-1)
所以Tn=(2^0)^2+(2^1)^2+(2^2)^2+(2^3)^2+……+[2^(n-1)]^2
=4^0+4^1+4^2+4^3+……+4^(n-1)
=1*(1-4^n)/(1-4)
=(4^n-1)/3
过程应该是比较详细的了，有不明白的地方直接问吧。

a1+a2+…+an=2^n-1
a1=1
an=2^n-1-[2^(n-1)-1]
=2^(n-1)
a1^2+a2^2+…+an^2
=1+4+……+4^(n-1)
=1(1-4^n)/(1-4)
=(4^n-1)/3

也就是Sn=2^n -1
所以an=Sn-S(n-1)=2^(n-1)
所以(an)^2=4^(n-1)
所以所求=[(1-4^(n-1))]/(1-4)=[4^(n-1)-1]/3

因为对任意自然数n，a1+a2+…+an=2的n次方减1 所以a1=1 a2=2 公比q=2
所以新数列a1的平方，a2的平方首相为1 公比为4
所以前n项和为：a1（1-q^n）/1-q
结果为：4^n-1/3

a1+a2+…+an=2的n次方减1，根据前N项和可知数列为公比为2，首相为1的等比数列，则a1的平方+a2的平方+…+an的平方就为首相为1，公比为4的等比数列，a1的平方+a2的平方+…+an的平方的前N项和即为：（4的n次方减1）/3

令an=a1*q^(n-1)
则Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=-a1/(1-q) *q^n +a1/(1-q)
故a1/(1-q)=-1,q=2
所以a1=1,
an=2^(n-1)
那么(an)^2=[2^(n-1)]^2=4^(n-1)
这就是(an)^2的通项公式
令a1的平方+a2的平方+…+an的平方=Tn
然后利用等比数列求和公式可以得到：Tn=1*(1-4^n)/(1-4)=(4^n-1)/3

利用sn-s(n-1) 算出an=2的n-1次方后 带入计算的式子就可以看出从第二项开始是个以2的平方为首相 4为公比的等比数列啦~带公式算就是了~
我算出来是3为分母 4的n次方-1为分子