若数列an为等比数列,且a1=2 q=3 求sn=1/a1a2+1/a2a3+.+1/ana(n+1)
问题描述：
若数列an为等比数列,且a1=2 q=3 求sn=1/a1a2+1/a2a3+.+1/ana(n+1)
答
an=a1q^(n-1)=2×3^(n-1)=
1/[ana(n+1)]=1/4[3^(n-1)×3ⁿ]=1/12*9^(n-1)
1/(a1a2)=1/12*9^(1-1)=1/12
1/[a(n+1)a(n+2)]/[1/ana(n+1)]=an/a(n+2)=3^(n-1)/3^(n+1)=1/9，为定值。
数列{1/[ana(n+1)]}是以1/12为首项，1/9为公比的等比数列。
Sn=1/(a1a2)+1/(a2a3)+...+1/[ana(n+1)]
=(1/12)×[1-(1/9)ⁿ]/(1-1/9)
=3/32 -1/96*9^(n-1)
答
a2=a1q=6
bn=1/ana(n+1)
则bn/b(n-1)=a(n-1)/a(n+1)=1/q²=1/9
即b1=1/12
bn公比是1/9
所以Sn=b1+……+bn
=1/12*(1-1/9^n)/(1-1/9)
=3/32*(1-1/9^n)