证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2

两边同时乘以（-1）将（-1）放到指数上
左边变成：(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/ n^2)/n^2
令f(x)=xlnx 则f(x)/x=lnx单调增加，所以
(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/ n^2)/n^2>(1/4+1/9+...+1/n^2)ln(1/4+1/9+...+1/n^2)
又 1/n(n+1)(1/4+1/9+...+1/n^2)>1/2-1/(n+1)
(1/4+1/9+...+1/n^2)所以ln(1/4+1/9+...+1/n^2)(1/4+1/9+...+1/n^2)ln(1/4+1/9+...+1/n^2)>[1/2-1/(n+1)]*ln(1-1/n)>(1-n)/2(n+1)*(-1/n)>-(2n^2-n-1)/(2n+2)

首先可以证明函数lnx≤x-1 (当x≥1的时候）
然后通项ln(n^2)/n^2≤(n²-1)/n²=1-(1/n²)然后求和：左边

在证明上式前,先证明:ln(x)如是,令x = n^2,则 ln(n^2)然后令n=2,3……,n可得到一系列不等式,叠加,得
（2ln2)/(2^2)+(2ln3)/(3^2)+(2ln4)/(4^2)+……+(2lnn)/(n^2)
＜n-{(1/4)+(1/9)+……+（1/n^2)}＜n-{(1/6)+(1/12)+……+1/n(n+1)}=（2n^2-n-1)/2(n+1)
两边同除2,：(ln2)/(2^2)+(ln3)/(3^2)+(ln4)/(4^2)+……+(lnn)/(n^2）＜（2n^2-n-1)/4(n+1)成立