在△ABC中 角A B C的对边分别为a b c,试探究:1)若A=2B 则a²=b(b+c)是否成立,为什么?
问题描述：
在△ABC中 角A B C的对边分别为a b c,试探究:1)若A=2B 则a²=b(b+c)是否成立,为什么?
2）若a²=b(b+c),则A=2B是否成立?
答
在△ABC中 角A B C的对边分别为a b c,试探究:1)若A=2B 则a²=b(b+c)是否成立,为什么?
a/sinA=b/sinB
A=2B
a/sin2B=b/sinB
b*sin2B=a*sinB
b*2sinBcosB=a*sinB
cosB=a/2b
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
a/2b=(a^2+c^2-b^2)/2ac
a^2c=a^2b+c^2b-b^3
a^2(c-b)=b(c^2-b^2)
a^2=b(b+c)
2）若a²=b(b+c),则A=2B是否成立?
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=(bc+c^2)/2ac
=c(b+c)/2ac
=(b+c)/2a
=a/2b
cos2B=2(cosB)^2-1=2(a/2b)^2-1=(a^2-2b^2)/2b^2
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+[(a^2-b^2)/b]^2-a^2)/2b(a^2-b^2)/b=(a^2-2b^2)/2b^2
cosA=cos2B
A=2B