已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an＝an−1−3，(an−1＞3)4−an−1，(an−1≤3)， （Ⅰ）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100； （Ⅱ）证明：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0＜a
问题描述：
已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an＝
，
an−1−3，(an−1＞3) 4−an−1，(an−1≤3)
（Ⅰ）当a=100时，求数列{an}的前100项的和S100；
（Ⅱ）证明：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3．
答
（1）当a=100时，由题意知数列an的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，
从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S100=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=
+(3+1)×(100+1)×34 2
＝1717+132＝1849．66 2
（2）证明：①若0＜a1≤3，则题意成立；
②若a1＞3，此时数列an的前若干项满足an-an-1=3，即an=a1-3（n-1）．
设a1∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N*），
则当n=k+1时，ak+1=a1-3k∈（0，3]．
从而，此时命题成立．
综上：对于数列{an}，一定存在k∈N*，使0＜ak≤3．