球这一行列式解1+a1 1 1 1 1 ...11 1+a2 1 1 1 ...11 1 1+a3 1 1 ...11 1 1 1+a4 1 ...1................1 1 1 1 1 1+an

先给行列式加边：一行（n+1个元素1）、一列（n个0）.得到一个n+1阶行列式。
1 1 1 1......1
0 1+a1 1 1......1
0 1 1+a2 1......1
....................
0 1 1 1......1+an 给第一行乘以（－1）加到下面各行，得到
1 1 1 1......1
-1 a1 0 0......0
-1 0 a2 0......0
.................
-1 0 0 0......an 给第一列依次加上第二列与（1/a1）的积、第三列与（1/a2）的积……、第n+1列与（1/an）的积。得到
1+1/a1+1/a2+...+1/an 1 1 1......1
0 a1 0 0......0
0 0 a2 0......0
...................................
0 0 0 0......an 这是一个n+1阶行列式。它的第一列只有第一个元素不是0。
行列式=(1+1/a1+1/a2+1/a3+......+1/an)*a1a2a3......an.
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设a1*a2*...*an不等于0
记所求行列式为 D(n)
【各行都减去首行】
D(n) =
1+a1 1 1 1 1 ...1
-a1 a2 0 0 0 ...0
-a1 0 a3 0 0 ...0
-a1 0 0 a4 0 ...0
................
-a1 0 0 0 0 ...an
【第1行减去第K行*（1/aK）,K = 2,3,...,n】
=
a1(1 + 1/a1 + 1/a2 + ...+ 1/an) 0 0 0 0 ...0
-a1 a2 0 0 0 ...0
-a1 0 a3 0 0 ...0
-a1 0 0 a4 0 ...0
................
-a1 0 0 0 0 ...an
【大功告成,对角线乘积】
= a1*a2*...*an*[1 + 1/a1 + 1/a2 + ...+ 1/an]