如果A是数域K上n级矩阵,且满足 AA' = I,|A| = -1.证明|I - A| = 0上面题写错了，最后是证明|I + A| = 0,sorry.应该是这么证的|I + A| = |AA' + A| = |A(A' + I)| = -|A' + I|;又（I + A)' = A' + I;∴|I + A| = |A' + I|;∴|I + A| = 0.
问题描述：
如果A是数域K上n级矩阵,且满足 AA' = I,|A| = -1.证明|I - A| = 0
上面题写错了，最后是证明|I + A| = 0,sorry.
应该是这么证的
|I + A| = |AA' + A| = |A(A' + I)| = -|A' + I|;
又（I + A)' = A' + I;
∴|I + A| = |A' + I|;
∴|I + A| = 0.
答
1。
取B的一个特征值λ，则有|B-λE|=0.
==>
A(B-λE)-(B-λE)A=A
命C=B-λE。
2。
A^2C=A(CA+A)=(CA+A)A+A^2=
=CA^2+2A^2，
同理递推可得：
任意正整数m，
A^mC=CA^2+mA^2=(C+mE)A^m，
==》
|A^mC|=|(C+mE)A^m|=
==》
0=|A|^m|C|=|(C+mE)||A|^m
取-m不是C的一个特征值,则|(C+mE)|≠0
==》
|A|^m=0，则A不可逆。
答
结论不成立：
取K为实数或有理数域,n=3,A是3阶对角阵A=diag(-1.-1,-1),AA' = I,|A| = -1.
I – A= diag(2,2,2),但|I - A| ≠ 0