求指数是复数的幂的定义以(a+bi)^(c+di)为例.
问题描述：
求指数是复数的幂的定义
以(a+bi)^(c+di)为例.
答
设
ln(a+bi) = x + yi
则
(a+bi)^(c+di) = e^[(c+di)ln(a+bi)]
= e^[(c+di)(x+yi)]
= e^[cx - dy]e^[i(xd-yc)]
而
ln(a+bi) = x + yi,
a + bi = e^[x + yi] = e^xe^(yi) = e^x[cosy + isiny]
e^x = (a^2 + b^2)^(1/2),x = [ln(a^2 + b^2)]/2.
tany = b/a.
y的取值不唯一.
y的其中一个值【称为主值】= arctan(b/a)
所以,ln(a + bi)的值不唯一.
所以,(a+bi)^(c+di)的值不唯一.
这就是复变函数的复杂的地方.