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设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1/3．试确定a、b、c，使此图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小．

分类: 作业答案 • 2022-01-04 13:16:04
问题描述：

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0．又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为

1
3
．试确定a、b、c，使此图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小．

答

解；∵抛物线y=ax2+bx+c过原点
∴c=0
又抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为

1
3

即：
∫ 10
(ax2+bx)dx＝
1
3

∴
1
3
a+
1
2
b＝
1
3

∴b＝
2
3
(1−a)
∴图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积
V=π
∫ 10
(ax2+bx)2dx＝π•[
a2
5
x5+
ab
2
x4+
b2
3
x3
] 10
=π[
a2
5
+
ab
2
+
b2
3
]=π[
2
135
a2+
1
27
a+
4
27
]
∴V′(a)＝π•(
4
135
a+
1
27
)
令V′（a）=0，得：a＝−
5
4

又V″(a)＝
4π
135
＞0
∴a＝−
5
4
是V(a)的唯一极小值点
∴a＝−
5
4
是V(a)的最小值点
此时，解得：b＝
3
2

∴a＝−
5
4
，b＝
3
2
，c＝0

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