二重积分 极坐标 角度的范围怎么定?
问题描述：
二重积分 极坐标 角度的范围怎么定?
比如 ∫∫(x-y)dxdy D：(x-1)²+(y-1)²≤2 x≤y
画出来是一个 圆心为(1,1) 半径为√2 的圆.
如果用极坐标做,那么θ的范围怎么定?
把它改成 u=x-1 v=x-1 则
∫∫(x-y)dxdy=∫∫(u-v)dudv 画出来是一个 圆心为(0,0) 半径为√2 的圆.
这里的θ的范围怎么定?
0≤r≤√2 θ的范围呢?
另外 不是可以把这个圆看作是四个1/4圆来计算吗?
答
极坐标,θ的变化都是从原点位置开始扫起的
圆心(1,1),半径√2
圆心到原点所在的直线是y = x,于是该圆在原点的切线为y = - x
画图观看这切线与圆的变化,便知道θ由- π/4变化到3π/4
所以θ∈[- π/4,3π/4]
这个圆不是关于原点对称的,所以不能用1/4圆来算答案给的 θ∈[ π/4，3π/4]另外我做一个变量替换 不就可以让圆点移到圆心吗就像我做的u和v你那个答案也没错的。这圆心可是关于y = x对称，所以变化范围可由[- π/4，3π/4]变为[π/4，3π/4]，不过积分要变为2倍，就是1/2圆而你那个变换，倒要把图画出来比较好算的，你那个看似用雅可比行列式变换的，但是圆形区域不太适合