求几个经典的数学悖论~

２－１ 阿基里斯悖论 稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）,曾经提出过一些著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一个. 阿基里斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ）是希腊神话中善跑的英雄.芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了.阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟. 方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量.一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为Ｓ,速度分别为Ｖ１和Ｖ２.当时间Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）时,阿基里斯就赶上了乌龟. 但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为Ｔ＇.对于任何Ｔ＇,可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面.关键是这个Ｔ＇无法度量Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）以后的时间. ２－２ 二分法悖论 这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达Ｄ,它必须首先到达距离Ｄ的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去.因此,这个物体永远也到达不了Ｄ. 这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔. 芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的.”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”.这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠. 他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”.根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运动佯谬： ２－３ “飞矢不动” 在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别.那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如： ２－４ “飞鸟之景,未尝动也” 这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲.这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突. 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”.尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与现实的矛盾. 尼采说道：在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸.如果无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝. 换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也没有运动.最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来*感官唤起的非一的幻象.下面是尼采的分析： 假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的.这是一个荒谬的观念! 假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止.因而,箭没有位置、没有空间.又是一个荒谬的观点! 假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割.箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子.仍然是一个荒谬的观念! 尼采得出这样的结论：我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾.如果有绝对运动,就不会有空间；如果有绝对空间,就不会有运动；如果有绝对存在,就不会有多样性；如果有绝对的多样性,就不会有统一性. 事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得到了完美的解决,这就是极限理论的诞生.牛顿在运动学研究时,初创微积分,但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”.十九世纪初,法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解释. 可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动佯谬.感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”.当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、象征或比喻都无济于事.尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来. ２－５ “一尺之捶,日取其半,万世不竭” 这是《庄子·天下》中惠施的一句名言.二千多年前中国古人同样运用了无限的概念. 战国名家宋国人惠施（约公元前３７０－前３１０）曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物.他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段. 惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程.惠施的悖论在西方也很有影响. *从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点.一九***年八月十八日,他同哲学工作者谈话时说：“列宁讲过,凡事可分.举原子为例,不但原子可分,电子也可分.”又说：“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的.‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理.不信,就试试看.如果有竭就没有科学了.” 有人注意到,*十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九***年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话.
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