一道关于等价无穷小替换的高数题limx→0（sinx-tanx)/{[3√(1+X^2)-1][(1+sinx)-1]}分母部分可以用等价无穷小替换为“X^2/3"和”sinx/3“吗?然后分子部分,因两个等价无穷小相同,相减是不能替换的,所以后面的步骤便不太清楚了.希望得到解答,

分类: 作业答案 • 2022-01-04 12:19:36

问题描述：

一道关于等价无穷小替换的高数题
limx→0（sinx-tanx)/{[3√(1+X^2)-1][(1+sinx)-1]}
分母部分可以用等价无穷小替换为“X^2/3"和”sinx/3“吗?
然后分子部分,因两个等价无穷小相同,相减是不能替换的,所以后面的步骤便不太清楚了.希望得到解答,

答

分母替换是正确的,sinx/3可继续替换为x/3.分子这样做：
sinx-tanx=tanx(cosx-1)~x*(-x^2/2)=-x^3/2(x->0)
所以最终答案为lim{x->0}(-x^3/2)/(x^3/9)=-9/2.