若a2=5a-3和b2=5b-3,其中a不等于b 求a4+a2b2+b4/a3+b3

问题描述:

若a2=5a-3和b2=5b-3,其中a不等于b 求a4+a2b2+b4/a3+b3

由a2=5a-3和b2=5b-3,可知a、b是方程x^2-5x+3=0的两个根
a+b=5,ab=3
(a4+a2b2+b4)/(a3+b3)
=[(a^2+b^2)^2-a^2b^2]/[(a+b)(a^2+b^2-ab)]
={[(a+b)^2-2ab]^2-(ab)^2}/{(a+b)[(a+b)^2-3ab]}
={[(5^2-2*3]^2-3^2}/{5[5^2-3*3]}
=(19^2-9)/[5*(25-9)]
=(361-9)/(5*16)
=352/80
=22/5
=4.4

则a,b为方程x^2=5x-3的二个根,x1*x2=a*b=3;x1+x2=a+b=5/2;然后把要求的变成含(a*b)和 (a+b)的式子

a²-5a+3=0
b²-5b+3=0
所以a和b是方程x²-5x+3=0的根
由韦达定理
a+b=5
ab=3
则a²+b²=(a+b)²-2ab=19
原式=[a^4+2a²b²+b^4-a²b²]/(a+b)(a²-ab+b²)
=[(a²+b²)²-a²b²]/(a+b)(a²-ab+b²)
=(361-9)/[5*(19-3)]
=22/5

若a2=5a-3和b2=5b-3,由此可得出,a b是方程x^2-5x+3=0的两个解,由韦达定理可得:a+b=5,ab=3,然后再代入a4+a2b2+b4/a3+b3
整理一下,应该就可以得到代数式的结果。