您的位置: 首页  >  作业答案  >  其他  >  已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-12）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 19:10:21
问题描述：

已知函数f（x）=（log2x-2）（log4x-

1
2
）
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

答

（1）f（x）=（log2x-2）（log4x-

1
2
）
=
1
2
（log2x）2-
3
2
log2x+1，2≤x≤4
令t=log2x，则y=
1
2
t2-
3
2
t+1=
1
2
（t-
3
2
）2-
1
8
，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t=
3
2
时，ymin=-
1
8
，当t=1，或t=2时，ymax=0．
∴函数的值域是[-
1
8
，0]．
（2）令t=log2x，得
1
2
t2-
3
2
t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m＜
1
2
t+
1
t
-
3
2
对于t∈[2，4]恒成立，
设g（t）=
1
2
t+
1
t
-
3
2
，t∈[2，4]，
∴g（t）=
1
2
t+
1
t
-
3
2
=
1
2
（t+
2
t
）-
3
2
，
∵g（t）=
1
2
t+
1
t
-
3
2
在[2，4]上为增函数，
∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，
∴m＜0．
答案解析：（1）f（x）=（log2x-2）（log4x-
1
2
）=
1
2
（log2x）2-
3
2
log2x+1，2≤x≤4，令t=log2x，则y=
1
2
t2-
3
2
t+1=
1
2
（t-
3
2
）2-
1
8
，由此能求出函数的值域．
（2）令t=log2x，得
1
2
t2-
3
2
t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立，从而得到m＜
1
2
t+
1
t
-
3
2
对于t∈[2，4]恒成立，构造函数g（t）=
1
2
t+
1
t
-
3
2
，t∈[2，4]，能求出m的取值范围．
考试点：对数函数图象与性质的综合应用．
知识点：本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

相关推荐