设函数f（x）=12-12x+1（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．
问题描述：
设函数f（x）=
-1 2
1
2x+1
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．
答
（1）函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）=
-1 2
=1
2x+1
＝
2x+1−2 2(2x+1)
，
2x−1 2(2x+1)
则f（-x）=
=-
2−x−1 2(2−x+1)
=-f（x），
2x−1 2(2x−1)
即函数f（x）是奇函数；
（2）∵y=2x+1是增函数，
∴y=-
是增函数，f（x）=1
2x+1
-1 2
在（-∞，+∞）内是增函数；1
2x+1
（3）∵f（x）=
-1 2
在（-∞，+∞）内是增函数，1
2x+1
∴函数f（x）在[1，2]上也是增函数，
即f（1）≤f（x）≤f（2），
即
≤f（x）≤1 6
，3 10
即此时函数的值域为[
，1 6
]．3 10
答案解析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可证明函数f（x）是奇函数；
（2）根据函数单调性的性质即可证明函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）利用函数单调性的性质即可求函数f（x）在[1，2]上的值域．
考试点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
知识点：本题主要考查函数奇偶性，单调性以及值域的应用，综合考查函数的性质．