求证4个连续整数的积与1的和,必是完全平方公式

设一整数为m。(m－1)m(m＋1)(m＋2)＋1＝[(m－1)(m＋2)][m(m＋1)]＋1＝(m^2＋m－1)^2。因为m^2＋m－1为整数，即得证。

设有一个整数为x
就有x（x+1）（x+2）（x+3）+1
再设x(x+1)(x+2)(x+3)+1是x^2+ax+b的平方
所以(x^2+ax+b)^2=x^4+6x^3+11x^2+6x+1
x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2=x^4+6x^3+11x^2+6x+1
所以2a=6
a^2+2b=11
2ab=6
b^2=1
联解得a=3 b=1
x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x+1)^2
所以x(x+1)(x+2)(x+3)+1是一个完全平方式

设为n-1,n,n+1,n+2
(n-1)*n*(n+1)*(n+2)+1
=(n^2+n)(n^2+n-2)+1
=(n^2+n)^2-2(n^2+n)+1
=(n^2+n-1)^2
得证

设这4个数n,n+1,n+2,n+3
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=
(n^2+3n+1-1)(n^2+3n+1+1)+1=(n^2+3n+1)^2-1+1=(n^2+3n+1)^2