如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，AC＝CE．（1）求证：AF=CF；（2）若⊙O的半径为5，AE=8，求EF的长．

答

（1）证明：如图，连接BC、AC，
∵

AC

=

CE

，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴∠CAE=∠ACD，
∴AF=CF；
（2）连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，则OC⊥AE，EG=AG=

1

2

AE=4．
∵

AC

=

CE

，
∴∠COE=∠COA，即∠GOE=∠DOC，
又∠OGE=∠ODC=90°，OE=OC，
∴△EGO≌△CDO（AAS），
∴OG=OD．
在△OEG中，∵∠OGE=90°，OE=5，EG=4，
∴OG=

OE2−EG2

=3，
∴OD=OG=3，CG=AD=2．
设GF=x，则CF=AF=4-x，
在△CGF中，∵∠CGF=90°，
∴CF²=CG²+GF²，即（4-x）²=2²+x²，
解得x=1.5，
∴EF=EG+GF=4+1.5=5.5．
答案解析：（1）连接BC、AC，先由等弧所对的圆周角相等得出∠B=∠CAE，再根据同角的余角相等证明∠B=∠ACD，进而得到∠CAE=∠ACD，最后利用等角对等边得到结论AF=CF；
（2）连接AC、OE、OC、BC，设CO与AE交点为G，先由垂径定理的推论得出OC⊥AE，EG=AG=

1

2

AE=4，再利用AAS证明△EGO≌△CDO，得出OG=OD，在△OEG中根据勾股定理求出OG=3，则OD=3，CG=AD=2．设GF=x，则CF=AF=4-x，然后在△CGF中利用勾股定理列出方程（4-x）²=2²+x²，解方程求出x的值，进而得到EF的长．
考试点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
知识点：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，余角的性质，等腰三角形的判定，垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．