您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  若x＞0，y＞0，x+y＞2，求证：1+xy＜2，1+yx＜2至少有一个成立．

若x＞0，y＞0，x+y＞2，求证：1+xy＜2，1+yx＜2至少有一个成立．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 16:05:32
问题描述：

若x＞0，y＞0，x+y＞2，求证：

1+x
y
＜2，
1+y
x
＜2至少有一个成立．

答

证明：假设

1+x
y
＜2，
1+y
x
＜2均不成立，则
1+x
y
≥2，
1+y
x
≥2，
∴1+x≥2y，1+y≥2x，
∴1+x+1+y≥2y+2x，
∴x+y≤2，这和已知条件x+y＞2相矛盾，所以假设不成立，
∴原命题成立．
答案解析：运用反证法，假设
1+x
y
＜2，
1+y
x
＜2均不成立，则
1+x
y
≥2，
1+y
x
≥2，从而可得x+y≤2，这和已知条件x+y＞2相矛盾，即可得到结论．
考试点：不等式的证明．
知识点：本题考查不等式的证明，考查反证法的运用，正确引出矛盾是关键．

相关推荐