数列极限的证明已知x1=2,xn+1=2+1/xn,求lim(n->无穷大)xn=?该数列虽有上界，但不是单调递增数列，怎么断定limXn=limXn+1？如何证明该数列存在极限？
问题描述：
数列极限的证明
已知x1=2,xn+1=2+1/xn,求lim(n->无穷大)xn=?
该数列虽有上界，但不是单调递增数列，怎么断定limXn=limXn+1？如何证明该数列存在极限？
答
设极限为A,
对
xn+1=2+1/xn两边同时求极限得
A=2+1/A
得A=1+sqrt2或1-sqrt2
因为 x1=2>0,所以任何xn>0，则极限大于等于0
所以所求的极限应为1+sqrt2
答
现在,式子两边取极限.
lim x(n+1)=lim[2+1/xn]-----(n->无穷大)
也就是：lim x(n+1)=2+ 1/lim(xn)；
最重要的,要知道：lim x(n+1)=lim xn (x->无穷大)；
因为 n 和 n+1 都是无穷大.
好了,后面不用我算了.你已经明白了吧.
PS:
现在,假设你的数列是有极限的,极限是A,那么,n和n+1都是无穷大（n趋于无穷大的时候）,所以,lim x(n+1)=A,lim xn=A,所以lim x(n+1)=lim xn；
如果,lim xn 和lim n+1在n趋于无穷大的时候不相等,因为n已经是无穷大了,xn的值还是没有趋于固定的值,所以,xn的极限不存在（n->无穷大）.