如图，已知一次函数y＝−34x+3的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．（1）求AB的长；（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．
问题描述：
如图，已知一次函数y＝−
| 3 |
| 4 |
每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．
答
=5；
（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴
＝
，
代入得：
＝
，
解得：t=
，
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-
=
，
再把x=
带入一次函数解析式，得y=
．
∴此时C（
，
）
若△ACD∽△AOB相似，
＝
，
＝
，
∴t=
，
AC=5-t=
，
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
=
，
即
=
，
解得AE=
，
∴OE=AO-AE=4-
=
，
而且又∵
=
，即
=
．
解得CE=
．所以C（
，
）
∴C（
，
）或（
，
）
答案解析：（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分别表示AC，AD的长度，再根据相似的性质可以列出关于t的方程，解方程就可以求出点C的坐标；
考试点：一次函数综合题．
知识点：此题主要考查了一次函数的综合知识，另外还考查了勾股定理的计算及相似三角形的性质．题目难度适中．
（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
| 32+42 |
（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴
| AC |
| AB |
| AD |
| AO |
代入得：
| 5−t |
| 5 |
| t |
| 4 |
解得：t=
| 20 |
| 9 |
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-
| 20 |
| 9 |
| 16 |
| 9 |
再把x=
| 16 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
∴此时C（
| 16 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
若△ACD∽△AOB相似，
| AD |
| AB |
| AC |
| AO |
| t |
| 5 |
| 5−t |
| 4 |
∴t=
| 25 |
| 9 |
AC=5-t=
| 20 |
| 9 |
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
| AE |
| AO |
| AC |
| AB |
即
| AE |
| 4 |
| ||
| 5 |
解得AE=
| 16 |
| 9 |
∴OE=AO-AE=4-
| 16 |
| 9 |
| 20 |
| 9 |
而且又∵
| CE |
| OB |
| AE |
| AO |
| CE |
| 3 |
| ||
| 4 |
解得CE=
| 4 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
∴C（
| 16 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
答案解析：（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分别表示AC，AD的长度，再根据相似的性质可以列出关于t的方程，解方程就可以求出点C的坐标；
考试点：一次函数综合题．
知识点：此题主要考查了一次函数的综合知识，另外还考查了勾股定理的计算及相似三角形的性质．题目难度适中．