已知关于x的不等式ax2+x+1<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是(  ) A.0<a<14 B.0≤a<14 C.a≤14 D.a<14

问题描述:

已知关于x的不等式ax2+x+1<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是(  )
A. 0<a<

1
4

B. 0≤a<
1
4

C. a≤
1
4

D. a<
1
4

当a=0时,不等式ax2+x+1<0化为x+1<0,可解得x<-1,不是空集,满足题意;
当a>0时,对应的二次函数y=ax2+x+1,开口向上,需一元二次方程ax2+x+1=0有两个不同的根,
即△=1-4a>0,解得a<

1
4
,故0<a<
1
4

当a<0时,对应的二次函数y=ax2+x+1,开口向下,符合题意,
综上可得实数a的取值范围是:a<
1
4

故选D