答
（1）令x=y=0，则f（0）=0
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴y=f（x）为奇函数．
任取x1＜x2，则x2-x1＞0．f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
∵x2-x1＞0∴f（x2-x1）＞0
∴f（x2）＞f（x1）
∴y=f（x）在R上增函数
（2）∵f（2）=3
∴6=f（2）+f（2）=f（4）
∴f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）
∴f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4）
∴|x-5|-|2x+3|＜4
∴⇒x≥5
或⇒x＜−4
或⇒−＜x＜5
综上知，x＞−或x＜−4．
答案解析：（1）令x=y=0，求出f（0），再令y=-x，即可判断出奇偶性；利用函数单调性的定义，设任意x1，x2∈R且x1＜x2，结合已知不等式比较f（x1）和f（x2）的大小，即可判断出单调性．（2）根据f（2）=3，可求6=f（2）+f（2）=f（4），所以不等式可化为：f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4），利用函数的单调性得|x-5|-|2x+3|＜4，利用零点分段，从而可解不等式．
考试点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
知识点：本题以函数的性质为载体，考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和应用：解不等式，及分类讨论思想，综合性强，难度较大．
