函数f(x)=x^2(x+a) ①若f'(2)=1,求a的值及曲线y=f(x)在x=2处的切线方程 ②当a=-1时f(x)在[-1,1]上的最小
问题描述：
函数f(x)=x^2(x+a) ①若f'(2)=1,求a的值及曲线y=f(x)在x=2处的切线方程 ②当a=-1时f(x)在[-1,1]上的最小
答
①
已知,f(x) = x^2(x+a) ,可得：f‘(x) = 3x^2+2ax ；
已知,f’(2) = 12+4a = 1 ,解得：a = -11/4 ；
且切线斜率为 f‘(2) = 1 ,可设切线方程为 y = x+b ；
因为,f(2) = -3 ,可得：-3 = 2+b ,解得：b = -5 ；
所以,曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为 y = x-5 .
②
当a = -1 时,f(x) = x^2(x-1) ,f'(x) = 3x^2-2x ,
令 f’(x) = 0 ,解得：x = 0 或 x = 2/3 ；
即有：f(x)在这两点处取得最大值或最小值；
因为,f(0) = 0 ,f(2/3) = -4/27 ；
所以,f(x)在[-1,1]上的最小值为 -4/27 .