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求二元函数f（x，y）=x2（2+y2）+ylny的极值．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 22:47:51
问题描述：

求二元函数f（x，y）=x2（2+y2）+ylny的极值．

答


（1）由一阶导数=0联立，求解函数的所有驻点．
由 fx′(x，y)＝2x(2+y2)＝0，fy′(x，y)＝2x2y+lny+1＝0，可得
x＝0，y＝

1
e
．
（2）利用二元函数极值的判断定理，判断点 (0，
1
e
) 是否为极值点．
由于 f″xx＝2(2+y2)，f″yy＝2x2+
1
y
，f″xy＝4xy，
将 x＝0，y＝
1
e
 带入可得，
f″xx|(0，
1
e
)＝2(2+
1
e2
)
f″xy|(0，
1
e
)＝0
f″yy|(0，
1
e
)＝e

因为 f″xx＞0 而(f″xy)2−f″xxf″yy＜0，故点 (0，
1
e
) 为函数的极小值点．
从而，二元函数存在极小值f(0，
1
e
)＝−
1
e

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