若不等式3x2+2x+2x2+x+1≥m对于任意的实数x均成立,求自然数m的值.

问题描述:

若不等式

3x2+2x+2
x2+x+1
≥m对于任意的实数x均成立,求自然数m的值.

不等式

3x2+2x+2
x2+x+1
≥m对于任意的实数x均成立,等价于(m-3)x2+(m-2)x+m-2≤0对于任意的实数x均成立.
m=3时,x+1≤0,∴x≤-1,不满足题意;
m≠3时,
m−3<0
(m−2)2−4(m−3)(m−2)≤0
,∴m≤2,
∴自然数m的值为0,1,2.