如图,F1,F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上的焦点,P为椭圆上的点,PF1⊥OX轴,且OP和椭圆的一条长轴顶点A
问题描述：
如图,F1,F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上的焦点,P为椭圆上的点,PF1⊥OX轴,且OP和椭圆的一条长轴顶点A
和短轴顶点B的连线AB平行.
1、求椭圆的离心率e
2、若Q是椭圆上任意一点,证明∠F1QF2≤π/2
答
1、
设P为椭圆上在x轴上方的点,F1坐标为(c,0)
PF1⊥OX轴,则P点坐标为(c,b²/a)
kOP=b²/ac=kAB=b/a
则b=c
a²=b²+c²=2c²
e=c/a=√2/2
2、
当Q点在短轴顶点时,∠F1QF2最大
F2Q=F1Q=b²+c²=2c²
F1F2=(2c²)=4c²
F2Q²+F1Q²=F1F2²
∠F1QF2=π/2
故∠F1QF2≤π/2谢谢哈，我没想到Q在短轴定点处的角是最大的很简单，因为F2Q+F1Q=2a F2Q²+F1Q²=(F2Q+F1Q)²-2F2Q*F1Q=4a²-2F2Q*F1Q由余弦定理可知F1F2²=F2Q²+F1Q²-2F2Q*F1Qcos∠F1QF2=4a²-2F2Q*F1Q-2F2Q*F1Qcos∠F1QF2cos∠F1QF2=(4a²-F1F2²)/(2F2Q*F1Q)-1=[4a²-4c²]/(2F2Q*F1Q)-1=(4b²)/(2F2Q*F1Q)-12√(F2Q*F1Q)≤F2Q+F1Q=2aF2Q*F1Q≤a²当且仅当F2Q=F1Q时取等号，此时cos∠F1QF2最小,cos∠F1QF2=(2b²-a²)/a²