已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）． （1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间； （2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由； （3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是
问题描述：
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．
答
∵f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x2+2ax=-x（3x-2a）．
（1）若a＞0，令f'（x）=0得x1=0，x2=
，则2a 3
＞02a 3
∴f（x）的单调增区间为：（0，
），单调递减区间为：（-∞，0），（2a 3
，+∞）2a 3
（2）若a=1，由（1）可得f（x）在(0，
)上单调递增，2 3
则x∈(0，
)时，f（x）＞f（0）=b2 3
∴f（x）的图象不可能总在直线y=b的下方．
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，则x∈[0，2]时f'（x）=-3x2+2ax≥0恒成立．
即a≥
＝3x2
2x
x对x∈[0，2]恒成立，3 2
∴a≥3．
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．