前n个自然数的m次幂的和的一般公式

前n个自然数的m次幂的和的一般公式
已知n
求s=0^k+1^k+2^k+...+n^k的和的一般性公式
目前我已知对指定n的公式的求和的方法。包括二项式定理，等差数列求和，等知识。用一条通用共式：n^k-(n-1)^k=...(用二项式定理展开得到，此处就不给出了），将此等式1写到n，相加可得n^k=...(右边是最高次为n^(k-1)的多项式），那么我们可以自然数的前k-1次的和提出，剩下的是k-2次至1次的求和，而这些已经由上一步得出。实例如下：求自然数的平方和：
第一条公式：0^1+1^1+2^1+3^1+...+n^1=1/2*n^2+1/2*n
令等式k^3-（k-1)^3=3k^2-3k+1
将之从一至n写n条：
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
...
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
将这n条相加得：
n^3=3*(0^2+1^2+2^2+...+n^2)-3(0+1+2+3+...+n)+n
将所求记作s2,则s2=n^3+3*n*(n+1)/2-n=n*(n+1)*(2n+1)/6 #即得
根据这种递推方式，可以逐步得到自然数的前n项和的m次幂的公式。
前六条公式，写出来有一些规律：
1 1/2*n^2+1/2*n
2 1/3*n^3+1/2*n^2+2/12*n
3 1/4*n^4+1/2*n^3+3/12*n^2+0*n
4 1/5*n^5+1/2*n^4+4/12*n^3+0*n^2-1/30*n
5 1/6*n^6+1/2*n^5+5/12*n^4+0*n^3-1/12*n^2+0*n
6 1/7*n^7+1/2*n^6+6/12*n^5+0*n^4-1/6*n^3+ 0*n^2+1/42*n