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已知函数f（x）=2x-1/2|x|．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-31 12:16:25

问题描述：

已知函数f（x）=2^x-

1

2|x|

．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

答

（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，
当x＞0时，f(x)＝2x−

1

2x

，
有条件可得，2x−

1

2x

＝2，
即2^2x-2×2^x-1=0，解得2x＝1±

2

，∵2^x＞0，∴2x＝1+

2

，∴x＝log2(1+

2

)．
（Ⅱ）当t∈[1，2]时，2t( 22t−

1

22t

)+m( 2t−

1

2t

)≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞）．