25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
问题描述：
25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有C(3,1)C(2,1)C(1,1)种.再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.即总取法为C(5,3)C(5,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)种.
但是我有个疑问,以上的思路是建立在3×3方阵为规则正方形的基础上的,但是从5×5方阵中取3×3方阵并没有限制这个方阵为规则的正发形,也就是说C(5,3)C(5,3)可能会产生如下的形态取法
可以看到,A在它所在的行的下一个行中有三种取法,B在在它所在的行的下一个行中有三种取法,而C却只有2种.同时每一种取法在最后一行中的范围又是不一样.请问各位前辈该如何解释我的这个疑问?总不能是书上给的解错了?
PS:我看有些高人们用高等代数中的矩阵来进行类似这种“取法”问题的求解,不知是否是真的?
答
为什么搞这么复杂!选第一个有25种可能,同行同列有5 5-1=9个,所以选第二个有25-9=16种可能,同行同列有9个,注意:不论怎么选,第二个数的同行同列与第一个数的同行同列都有两个重复,所以第三个数有25-9-9 2=9种可能.三个数组合:25×16×9/3×2×1=600种.非常感谢你的回答， 但我还是有点不解，为什么你说因为第二个数的同行同列与第一个数的同行同列都有两个重复，所以第三个数有25-9-9+2=9种可能呢？能不能在帮我解释下？自己作图看看就明白了，很明显的。