已知函数f（x）=2/3x3-2ax2+3x（x∈R）． （1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求
问题描述：
已知函数f（x）=
x3-2ax2+3x（x∈R）．2 3
（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．
答
（1）设切线的斜率为k，则k=f′（x）=2x2-4x+3=2（x-1）2+1，当x=1时，kmin=1．
把a=1代入到f（x）中得：f（x）=
x3-2x2+3x，所以f（1）=2 3
-2+3=2 3
，即切点坐标为（1，5 3
）5 3
∴所求切线的方程为y-
=x-1，即3x-3y+2=0．5 3
（2）f′（x）=2x2-4ax+3，因为y=f（x）为单调递增函数，则对任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0，
f′（x）=2x2-4ax+3＞0，
∴a＜
=2x2+3 4x
+x 2
，而3 4x
+x 2
≥3 4x
，当且仅当x=
6
2
时，等号成立．
6
2
所以a＜
，则所求满足条件的最大整数a值为1．
6
2