证明ln2/2^2+ln3/3^2+.+lnn/n^2
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证明ln2/2^2+ln3/3^2+.+lnn/n^2
数学人气：832 ℃时间：2020-02-03 07:01:17
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当n=2时,不等式左端=ln2/2^2,不等式右端=5/12 ,ln2/2^2＜5/12,不等式成立；假设当n=k(k≥2为正整数)时不等式成立,即ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＜(2k^2-k-1)/[4(k＋1)]成立,在此不等式两端同时加ln(k＋1)/(k＋1)^2得ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜(2k^2-k-1)/(4k＋4)＋ln(k＋1)/(k＋1)^2①,容易证明ln(k＋1)＜k＋1,所以①式变为ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜(2k^2-k-1)/(4k＋4)＋(k＋1)/(k＋1)^2=(2k^2-k＋3)/(4k＋4)②,容易证明(2k^2-k＋3)/(4k＋4)＜[2(k＋1)^2-(k＋1)-1]/4[(k＋1)＋1]③,该不等式可化简得3＜k(k＋1)④,由于k≥2,所以④成立,进而③成立,所以②式变为ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜[2(k＋1)^2-(k＋1)-1]/4[(k＋1)＋1],即当n=k＋1时,不等式也成立；所以对所有n≥2的正整数,原不等式均成立.
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答
当n=2时,不等式左端=ln2/2^2,不等式右端=5/12 ,ln2/2^2＜5/12,不等式成立；假设当n=k(k≥2为正整数)时不等式成立,即ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＜(2k^2-k-1)/[4(k＋1)]成立,在此不等式两端同时加ln(k＋1)/(k＋1)^2得ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜(2k^2-k-1)/(4k＋4)＋ln(k＋1)/(k＋1)^2①,容易证明ln(k＋1)＜k＋1,所以①式变为ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜(2k^2-k-1)/(4k＋4)＋(k＋1)/(k＋1)^2=(2k^2-k＋3)/(4k＋4)②,容易证明(2k^2-k＋3)/(4k＋4)＜[2(k＋1)^2-(k＋1)-1]/4[(k＋1)＋1]③,该不等式可化简得3＜k(k＋1)④,由于k≥2,所以④成立,进而③成立,所以②式变为ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜[2(k＋1)^2-(k＋1)-1]/4[(k＋1)＋1],即当n=k＋1时,不等式也成立；所以对所有n≥2的正整数,原不等式均成立.