正方形ABCD中,AC,BD相交于O,Q在DC上,P在BC上,且AQ垂直于DP,求证：OP垂直于OQ.
问题描述：
正方形ABCD中,AC,BD相交于O,Q在DC上,P在BC上,且AQ垂直于DP,求证：OP垂直于OQ.
答
∵∠ADP+∠CDP=90°,∠ADP+∠DAQ=90°
∴∠CDP=∠DAQ
又∵∠BCD=∠CDA,DC=AD
∴△DCP≌△ADQ
∴PC=QD
又∵∠ACB=∠BDC,OC=OD
∴△OPC≌△OQD
∴∠POC=∠QOD
∵OC⊥OD
∴∠QOD+∠QOC=90°
又∵∠POC=∠QOD
∴∠POC+∠QOC=90°即∠POQ=90°
∴OP⊥OQ