离散数学关系的性质的一些问题

离散数学关系的性质的一些问题
注：a为所有,e为存在,^为且
定义（1）若ax（x∈A→ ∈R),则称R在A上是自反的.
例7.10 设A＝｛1,2,3｝,R1,R2和R3是A上的关系,其中：
R1＝｛,｝
R1,R2,R3是否是A上的自反关系和反自反关系?
R1既不是自反关系也不是反自反关系
定义（2）设R为A上关系,
（2.1)若axay（x,y∈A^∈R→∈R),则称R在A上为对称的关系
（2.2)若axay（x,y∈A^∈R^∈R→x=y),则称R在A上为反对称的关系
例7.11设A＝｛1,2,3｝,R1,R2,R3和R4都是A上的关系,其中
R1＝｛,｝
R2＝｛,,｝
R3＝｛,｝
R4={,,}
R1是对称的也是反对称的,R2是对称的但不是反对称的,R3是反对称的但不是对称的,R4即不是对称的也不是反对称的.
定义（3）
设R为A上关系,若
若axayaz（x,y,z∈A^∈R^∈R→∈R),则称R在A上传递关系
例题7.12设A＝｛1,2,3｝,R1,R2,R3是A上的关系,其中
R1＝｛,｝
R2＝｛,}
R3={}
说明R1,R2,R3是否为A的传递关系?
R1和R3是A的传递关系,R2不是A的传递关系.
终于抄完了!提问：
为什么在自反和反自反关系中,R里的笛卡尔对必须包含A中全部元素（例7.10中R1不是自反关系就是由于少了个元素“”）.而在后面的定义（2）和定义（3）中的关系里,虽然有“axay”和“axayaz”这样的带全称量词的约束条件.而例题7.12和7.13中的那几个没有涵盖A中全部元素（axay（x,y∈A））的二元关系R仍然满足例题中的对应关系?
例题7.12中R3为什么符合传递关系?按理说R3里面还应该应该有“”和“”才符合啊?