f(n)=5^(3n)+5^(2n)+5^n+1,n是自然数,证当且仅当4不能整除n时,13能整除f(n)

问题描述:

f(n)=5^(3n)+5^(2n)+5^n+1,n是自然数,证当且仅当4不能整除n时,13能整除f(n)

f(n) = 5^(3n)+5^(2n)+5^n+1= (5^n + 1)*(15^(2n)+1)令 n = 4k 时 ,k ∈ N很显然 f(4k) = (5^(4k) + 1)*(5^(8k) + 1) 是不能整除 13 的当 n = 4k + 1 时 k ∈ Nf(4k + 1) = (5^(4k+1) + 1)*(5^(8k+2) + 1)= (5^(4k+1...