您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  在数列{an}中，an=4n-1+n，n∈N*． （1）求数{an}的前n项和Sn； （2）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

在数列{an}中，an=4n-1+n，n∈N*． （1）求数{an}的前n项和Sn； （2）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 14:48:01
问题描述：

在数列{an}中，an=4n-1+n，n∈N*．
（1）求数{an}的前n项和Sn；
（2）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

答

（1）∵数列{an}的an=4n-1+n，n∈N*．
∴数列{an}的前n项和Sn=

4n−1
4−1
+
n(n+1)
2
=
1
3
(4n−1)+
1
2
(n2+n)．
（2）证明：对任意的n∈N*，Sn+1-4Sn=
4n+1−1
3
+
(n+1)(n+2)
2
-4（
1
3
(4n−1)+
1
2
(n2+n)）．
=−
1
2
(3n2+n−4)
当n=1时，S2=a1+a2=8，4S1=8，∴S2=4S1；
当n≥2时，3n+4＞0，n-1＞0，∴−
1
2
(3n2+n−4)＜0，即Sn+1＜4Sn．
∴不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

相关推荐