11.已知椭圆C:x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0),以正三角形ABC的顶点A,B为焦点,且过AC,BC
问题描述：
11.已知椭圆C:x*2/a*2+y*2/b*2=1(a>b>0),以正三角形ABC的顶点A,B为焦点,且过AC,BC
11.已知椭圆C：x*2/a*2+y*2/b*2=1(a＞b＞0）,以正三角形ABC的顶点A,B为焦点,且过AC,BC的中点M,N,求椭圆C的离心率
答
因为无论焦点在x轴还是在y轴,离心率不会变
不妨设焦点在x轴,设A(-c,0),B(c,0),则C(0,c√3)
则AC中点为M(-c/2,c√3/2),N(c/2,c√3/2)
将M,N代入方程x²/a²+y²/b²=1,则c²/4a²+3c²/4b²=1
b²c²+a²c²=4a²b²
(a²-c²)c²+a²c²=4a²(a²-c²)
a²c²-c⁴+a²c²=4a⁴-4a²c²
4a⁴-6a²c²+c⁴=0
4e⁴-6e²+1=0
利用求根公式：e=[6±√(36-16)]/2=3±√5
∵e