设函数f(x)连续,在x=0处可导,且f(0)=0记函数g(x)=1/x²∫tf(t)dt则g'(0)=?
问题描述：
设函数f(x)连续,在x=0处可导,且f(0)=0记函数g(x)=1/x²∫tf(t)dt则g'(0)=?
上面是x不等于0的情况下 x=0时g(x)=0
答
首先看g(x)在x=0点是不是连续：
lim {x->0} g(x) = lim {x->0} ∫tf(t)dt / x^2
= lim {x->0} xf(x) / 2x
= f(0)/2
= 0
所以lim {x->0} g(x) =g(0)
g(x)在x=0点连续,因此可以讨论g'(0)的问题.
g'(0)的导数要用定义,分左右导数,分开求.
g'(0+) = lim {x->0+} [g(x)-g(0)] / (x-0)
=lim {x->0+} ∫tf(t)dt / x^3
=lim {x->0+} xf(x) / 3x^2
=lim {x->0+} f(x)/3x
=f'(0) / 3
同理：
g'(0-) = lim {x->0-} [g(x)-g(0)] / (x-0)
=f'(0) / 3
左右导数相等
所以g'(0) = f'(0) / 3